MA1106/Exams

From FUKTwiki

Revision as of 18:12, 10 September 2008 by Teddy (Talk | contribs)
(diff) ←Older revision | Current revision (diff) | Newer revision→ (diff)
Jump to: navigation, search

Exam solutions made as student notes during lectures and exercises.

Contents

[edit] Övnings tenta 2006-01-04

[edit] Uppgift 1. För vilka värden på a

För vilka värden på a har ekvationsystemet en entydig lösning, oändligt antal lösningar och när saknas det lösning?

\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 2 \\ x_1 + 2x_2 + ax_3 = 5\\ x_1 + ax_2 + 2x_3 = 5 \end{cases}

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & a \\ -1 & a & 2 \end{vmatrix} = 4 + 2a - a + 2 - 4 - a^2 = -a^2 + a + 2

a2 − a − 2 = 0

a = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2}^2 + 2}

a = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{-2}

a1 = 2

a2


[edit] a = 2 ger

\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 2 x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5 x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5 \end{cases}

ekvation 1 och 2 ger : 0x1 + 0x2 + 3x3 = 3

x3 = 1

\begin{cases} x_1 + 2x_2 - 1 = 2 \\ x_1 + 2x_2 + 2 = 5 \end{cases}

x2 = t

alltså oändligt antal lösningar

[edit] a = -1 ger

\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 2 x_1 + 2x_2 -x_3 = 5 x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 \end{cases}

Ekvation 1 och 2 get : 0 = 3

alltså så saknas det lösning

[edit] Svar:

Om a = 2 så har vi oändligt antal lösningar.

Om a = -1 saknar vi lösning

Om a \neq 2 och a \neq -1 så finns det entydiga lösningar

[edit] Uppgift 2 a). Lös matrisekvationen

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}

AXB = C

A − 1AXBB − 1 = A − 1CB − 1

A^-1 = \frac{1}{\det A} \cdot \mbox{adj} A = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1

\mbox{adj} A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}


B^-1 = \frac{1}{\det B} \cdot \mbox{adj}

\det B = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 0 + 0 - 0 - 4 = -3

\mbox{adj} B = \begin{pmatrix} -3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} <math>B^-1 = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}

B^-1 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}

X = A^-1 C B^-1 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -12 & -3 & 6 \\ 6 & 3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}

[edit] Svar:

X = \begin{pmatrix} -4 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}

[edit] Uppgift 2 a). För vilka r är matrisen A inverterbar

Antag att A = \begin{pmatrix} r & 1 & 1 \\ 0 & r & 2r \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}

För vilka är matrisen A inverterbar

När detA är skild från noll.

\det A = \begin{vmatrix} r & 1 & 1 \\ 0 & r & 2r \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = r^2 - 2r + 0 + 0 + r - 0 + 2r^2 = r^2 - r

r(r − 1) = 0

r1 = 0

r2 = 1


[edit] Svar:

Om r \neq 0 och r \neq 1 är matrisen inverterbar.

[edit] Uppgift 3. Beräkna kortaste avståndet

Beräkna det kortaste avståndet mellan linjerna

l_1 : \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 - 2t \\ z = 3 + t \end{cases}

l2:(x,y,z) = (1,2,0) + t(4, − 3,1)

Ta fram en vektor som är vinkelrät mot båda linjerna.

r_1 \times r_2 = \begin{vmatrix} \overline{e_1} & \overline{e_2} & \overline{e_3} \\ 0 & -2 & 1 & \\ 4 & -3 & 1 & \end{vmatrix} = \overline{e_1} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - \overline{e_2} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + \overline{e_3} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 4 & -3 \end{vmatrix}

= \overline{e_1} (-2-(-3)) - \overline{e_2} (0-4) + \overline{e_3} (0-(-8)) = \overline{e_1} + 4 \overline{e_2} + 8 \overline{e_3}

alltså \overline{r_1} \times \overline{r_2} = (1,4,8)

P1:(1,2,3)

P2:(1,2,0)

\overline{u} = (0,0,3)

\overline{u_1} = (1,4,8)

\overline{u_1} = \frac{\overline{u} \cdot \overline{r}}{|\overline{r}|^2} \cdot \overline{r} = \frac{(0,0,3)(1,4,8)}{81} (1,4,8) = \frac{0\cdot 1 + 0 \cdot 4 + 3 \cdot 8}{81}(1,4,8) = \frac{24}{81} (1,4,8)

|\overline{u_1}| = \frac{24}{81} \sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}

[edit] Svar:

Alltså \frac{8}{3} l.e.

[edit] Uppgift 4 a). Visa att vektorena är linjärt oberoende

Antag att \overline{u_1} = (1,2,1), \overline{u_2} = (0,1,1), \overline{u_3} = (2,0,-1)

Visa att vektorena \overline{u_1}, \overline{u_2}, \overline{u_3} utgör en bas i R3 dvs att vektorena \overline{u_1}, \overline{u_2}, \overline{u_3} är linjärt oberoende.

\det = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} 1

om \det \neq 0 så är dom linjärt oberoende

[edit] Svar:

alltså \overline{u_1}, \overline{u_2}, \overline{u_3} är linjärt oberoende och utgör en bas i R3

[edit] Uppgift 4 b). Bestäm koordinaterna med avseende på basen

Antag att \overline{u_1} = (1,2,1), \overline{u_2} = (0,1,1), \overline{u_3} = (2,0,-1)

Bestäm koordinaterna för vektorn (0,3,0) med avseende på basen \overline{u_1}, \overline{u_2}, \overline{u_3}

u = (0,3,0)

Basbytematris S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

X = S X'

X' = S − 1 X

X = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}

S^-1 = \frac{1}{\det S} \mbox{adj} S

\det S = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1

\mbox{adj} S = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 2 & -3 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

X' = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 2 & -3 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \\ -3 \end{pmatrix}

[edit] Svar:

vektorn \overline{u} = (0,3,0) får koordinaterna (6, − 9, − 3) i den nya basen

[edit] Uppgift 5. Beräkna avståndet mellan linje och punkt

Linjen l ges av skärningen mellan planen x - 2y + 3z = -1 och x + y - 6z = 0. beräkna det kortaste avståndet mellan punkten P (1,-1,0) och linjen l.

hint : Beräkna linjen. hitta på en godtycklig punkt på linjen, beräkna vektorn. Projecera den nya vektorn på linjen. Minska den nya projecerade linjen med den beräknade vetkorn.

\begin{cases} x - 2y + 3z = 1 [-1]\\ x + y - 6z = 0 \end{cases} \to \begin{align} -x + 2y - 3z = 1 \\ \underline{x + y - 6z = 0} 3y - 9z = 1 \end{align}

\begin{align} x = - \frac{1}{3} + 3t \\ y = \frac{1}{3} + 3t \\ z = t \end{align}

P_1 : \biggl( -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0 \biggr)

\overline{u} = \biggl( \frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, 0 \biggr)

\overline{u_1} = \frac{\overline{u} \cdot \overline{r}}{|\overline{r}|^2} \cdot \overline{r} = \frac{(\frac{4}{3}, \frac{-4}{3}, 0)(3,3,1)}{19} (3,3,1) = 0 (3,3,1)

[edit] Svar:

|\overline{u}| = \sqrt{ \biggl( \frac{4}{3} \biggr) ^2 + \biggl( \frac{-4}{3} \biggr) ^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{32}{9}}

[edit] Uppgift 6. Ange avbildningsmatrisen

Ange avbildningsmatrisen för den linjära avbildning som består i att man först rotera rummets vektorer vinkeln \frac{\pi}{4} runt y-axeln (moturs i y-axelns positiva riktning) och därefter speglar rummets vektorer i linjen (x,y,z) = t(1,1,0)

F \circ G = A B

G är det man gör först med avbildningsmatrise B.

F har avbildningsmatrisen A.

Börjar med att kontrollera vad sm händer med enhetsvektorena

Rotation \frac{\pi}{4}

\overline{e_1} = (1,0,0) får koordinaterna (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, - \frac{1}{\sqrt{2}})

\overline{e_2} = (0,1,0) får koordinaterna (0,1,0)

\overline{e_3} = (0,0,1) får koordinaterna (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})

Avbildningsmatrisen B = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Spegling

\overline{e_1} = (1,0,0) får koordinaterna (0,1,0)

\overline{e_1} = (0,1,0) får koordinaterna (1,0,0)

\overline{e_1} = (0,0,1) får koordinaterna (0,0,-1)

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}

A B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

[edit] Svar:

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

[edit] Övningstenta 2007-06-04

[edit] Uppgift 1. Bestäm lösningen till ekvationssystemet

Bestäm hur lösningen till ekvationssystemet beror på värdet på a.

\begin{cases} x + y + az = 1 \\ x + y + z = 1 \\ ax + y + z = 1 \end{cases}

Beräkna när determinanten Är skild från 0.

\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 + a + a - a^2 - 1 - 1 = -a^2 + 2 a - 1

a2 − 2a + 1 = 0

a = 1 \pm \sqrt{1 - 1}

a = 1 ger:

\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}

oändligt antal lösningar.

a \neq 1 ger:

\begin{cases} x + y + az = 1 \\ x + y + z = 1 \\ ax + y + z = 1 \end{cases}

\begin{cases} x + y + az = 1 \\ \underline{-x - y - z = -1} az - z = 0 \end{cases}

(a − 1)z = 0

slutsats: z måste vara 0 om a \neq 1.

\begin{cases} -x - y = -1 \\ \underline{ax + y = 1} ax - x = 0 \end{cases}

slutsats: x måste vara 0 om a \neq 1 och då måste y vara lika med 1.

[edit] Svar:

Alltså oändligt antal många lösningar om a = 1. Om a \neq 1 så finns det entydiga lösningar.

för dom entydiga lösningarna måste:

\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}

[edit] Uppgift 2 a): Bestäm arean av triangeln

Bestäm arean av en triangel med hörn i punkterna (1,2,3), (3,1,2) och (-4,0,4)

\overline{u} = (3,1,2)-(1,2,3) = (2,-1,1)

\overline{v} = (-4,0,4) - (1,2,3) = (-5, -2, 1)

Arean av triangeln är \frac{1}{2} |\overline{u} \times \overline{v}| = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} \overline{e_1} & \overline{e_2} & \overline{e_3} \\ 2 & -1 & -1 \\ -5 & -2 & 1 \end{vmatrix}

= \frac{1}{2} ( \overline{e_1} \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - \overline{e_2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 1 \end{vmatrix} + \overline{e_3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -5 & -2 \end{vmatrix} )

= | \frac{1}{2} ( -3\overline{e_1} + 3 \overline{e_2} - 9 \overline{e_3})| = \frac{1}{2} | (-3,3,-9)| = \frac{1}{2} \sqrt{9+9+81} = \frac{1}{2} \sqrt{99} a.e

[edit] Svar:

\frac{1}{2} \sqrt{99}

[edit] Uppgift 2 b): Beräkna volymen

Beräkna volymen av en parallellepiped som späns upp av vektorena \overline{u} = (1,2,3), \overline{v} = (3,1,2), \overline{w} = (-4,0,4)

Volymen av en parallellepiped är lika med determinantens belopp.

\begin{vmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 4 -16 + 12 -24 = 24

alltså volymen är 24 v.e

[edit] Lös matrisekvationen

Lös matrisekvationen A X B = C

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 7 & 11 & 8 \end{pmatrix}

A − 1AXBB − 1 = A − 1CB − 1

X = A − 1CB − 1


C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 7 & 11 & 8 \end{pmatrix}

A^-1 = - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}

A^-1 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

\det B = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2

\mbox{adj} B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

B^-1 = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 7 & 11 & 8 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 10 & 22 & 20 \\ -4 & -11 & -11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 8 & 32 & 12 \\ -4 & -18 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 & 3 \\ -1 & - \frac{9}{2} & -1 \end{pmatrix}


[edit] Uppgift 4 a): Linjärt oberoende?

Visa att vektorena \overline{u_1}, \overline{u_2}, \overline{u_3} ugör en bas i R3 dvs, att vektorena \overline{u_1}, \overline{u_2}, \overline{u_3} är linjärt oberoende.

Om determinaten är skild från noll så är dom linjärt oberoende.

\det A \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 7

[edit] Svar:

Determinaten är 7 dvs inte noll, så dom är linjärt oberoende och därmed utgör en bas i R3.

[edit] Uppgift 4 b): Bestäm koordinaterna för vektorn

Bestäm koordinaterna för vektorn (0,7,0) med avseende på basen \overline{u_1}, \overline{u_2}, \overline{u_3}

S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

S^-1 = \frac{1}{\det S} \cdot \mbox{adj} S

detS = 7

\mbox{adj} S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}

S^-1 = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}

X' = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 14 \\ -21 \\ -7 \end{pmatrix}

[edit] Svar:

Den nya vektorn får koordinaterna (2,-3,-1)

[edit] Uppgift 5: Koordinaterna för linjen

Ange ekvationen för den räta linjen, som går genom punkten P (4,0,0) och under rät vinkel skär linjen \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 \\ z = 1 - t \end{cases}


Ta den godtyckliga punkten (1,1,1) från linjen och beräkan vektorn mellan den nya punkten och P.

\overline{u} = (3,-1,-1)

\overline{u_1} = \frac{(3,-1,-1)(1,0,-1)}{2} (1,0,1) = \frac{4}{2} (1,0,-1) = (2,0,-2)

\overline{u_2} = \overline{u} - \overline{u_1} = (1,-1, 1)

L:(4,0,0) + t(1, − 1,1)

L = \begin{cases} x = 4 + t \\ y = -t \\ z = t \end{cases}

[edit] Svar:

Den nya linjen blir (4,0,0) + t(1,-1,1)

[edit] Uppgift 6: Spegling och vridning

Låt F vara den linjära avbildning som speglar rummets vektorer i planet x1 − 2x2 + 2x3 = 0, och låt G vara den linjära avbildning som vridet rummets vektorer med vinkeln \frac{\pi}{2} i positiv riktning kring x3 - axlen (z - axlen).

[edit] A) bestäm matrisen till F

\overline{n} = (1, -2, 2)

\overline{e_1} = (1,0,0)

\overline{e_1'} = \frac{(1,0,0)(1,-2,2)}{9} (1,-2,2) = \frac{1}{9} (1,-2,2) = (\frac{1}{9}, \frac{-2}{9}, \frac{2}{9})

\overline{e_1} - 2 \overline{e_1'} = (1,0,0) - 2(\frac{1}{9}, \frac{-2}{9}, \frac{2}{9}) = (\frac{7}{9}, \frac{4}{9}, \frac{-4}{9})

Bestäm A. A = \begin{pmatrix} \frac{7}{9} & \frac{4}{9} & \frac{-4}{9} \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{8}{9} \frac{-4}{9} & \frac{8}{9} & \frac{1}{9} \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 7 & 4 & -4 \\ 4 & 1 & 8 \\ -4 & 8 & 1 \end{pmatrix}

(1,0,0) + t(1, − 2,2) = (1 + t, − 2t,2t), slå ihop det med planets ekvation

1 + t − 2( − 2t) + 2(2t) = 1 + 9t

t = \frac{-1}{9}

(1,0,0) + (-\frac{1}{9})(1,-2,2) = (\frac{7}{9}, \frac{4}{9}, \frac{-4}{9})

\overline{e_2} = (\frac{4}{9}, \frac{1}{9}, \frac{8}{9})

\overline{e_3} = (\frac{-4}{9}, \frac{8}{9}, \frac{1}{9})

[edit] b)

B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

[edit] C)

= \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 7 & 4 & -4 \\ 4 & 1 & 8 \\ -4 & 8 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{9} \begin{pmatrix} -4 & 7 & -4 \\ -1 & 4 & 8 \\ -8 & -4 & 1 \end{pmatrix}

[edit] Övnings tenta 2002-03-12

[edit] Uppgift 1 Lös ekvationsystemet

\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ 2x - 6y + 6z = 4 \\ -3x + 5y - z = -2 \end{cases}

\begin{cases} x = 3t -1 \\ y = 2t - 1 \\ z = t \end{cases}

[edit] Uppgift 2 bestäm matrisen X

Bestäm matrisen X i ekvationen AX + BT = C

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}


AX + BT = C

AX = C − BT

A − 1AX = A − 1(C − BT)

X = A − 1(C − BT)

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

\det A = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2

A^-1 = \frac{1}{\det A} \cdot \mbox{adj} A = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Kontroll:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

då har vi bevisat att den är rätt.

B^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

note BT är kolummer skrivna som rader

(C - B^T) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \end{pmatrix}

[edit] Uppgift 3: En triangel

En triangel har hörn i punkterna (1,2,3), (1,1,1) och (2,0,1)

[edit] a) Bestäm arean

\overline{u} = (0,-1,-2)

\overline{v} = (1,-2,-2)

Triangelns area är \frac{1}{2} | \overline{u} \times \overline{v}| = \begin{vmatrix} \overline{e_1} & \overline{e_2} & \overline{e_3} \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix}

\overline{e_1} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} - \overline{e_2} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + \overline{e_3} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 \overline{e_1} - 2 \overline{e_2} + \overline{e_3}

\frac{1}{2} | \overline{u} \times \overline{v}| = \frac{1}{2} \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{9} = \frac{3}{2} a.e

[edit] b) planets ekvation på affin form

Planets normal (-2,-2,1) eller (2,2,-1).

Planets ekvation 2x + 2y -z +d = 0

vi sätter in en av punkterna:

2x + 2y -z + d = 0

2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 + d = 0

d = -3

2x + 2y + z -3 = 0

[edit] Uppgift 4: spegelbilder

Punkterna (1,1,1) och (3,2,2) är varandras spegelbilder i ett visst plan. Bestäm ekvationen för detta plan.

\overline{u} = (3-1,2-1,2-1) = (2,1,1)

\overline{n} = (2,1,1)

P_1 : (1,1,1) + \frac{1}{2}(2,1,1) = (2,\frac{3}{2}, \frac{3}{2})

planets ekvation: 2x + y + z + d = 0

2 \cdot 2 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + d = 0

d = -7

[edit] Svar:

2x + y + z -7 = 0

[edit] Uppgift 5: HON-system

O(e_1 \cdot e_2 \cdot e_3) är ett HON-system. I detta har punkten P koordinaterna (2,5,8). Ett nytt HON-system O(e'_1 \cdot e'_2 \cdot e'_3) införes så att e'1 blir parallell med planet 3x + 2y − z + 1 = 0 och så att e'2 blir parallell med vektorn (1,1,1). Ange koordinaterna för punkten P i det nya systemet. Flera fall är möjliga. Välj ett!

\begin{cases} e'_1 = \frac{1}{\sqrt{18}} (-1,2,-1)\\ e'_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,1) \end{cases}

\begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Biggl( e_1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - e_2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + e_3 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \Biggr) = \frac{1}{\sqrt{3}} (-1,2,-1)

e'_1 = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} (-1,2,-1)

\overline{e_1} \times \overline{e_2} = \frac{1}{\sqrt{18}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{54}} \Biggl( e_1 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - e_2 \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + e_3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \Biggr) = \frac{1}{\sqrt{54}} (3,0,-3)

note Vi struntar i bråktalet, och förkortar.

e'_3 = (1,0,-1) \to \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1)

\begin{cases} e'_1 = \frac{1}{\sqrt{6}} (-1,2,-1) e'_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,1) e'_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1) \end{cases}


(Ops... Ovan blev fel...)


\begin{cases} e'_1 = \frac{1}{\sqrt{26}} (-3,4,-1) \\ e'_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,1) \\ e'_3 = \frac{1}{\sqrt{78}} (-5,-2,7) \end{cases}

X = SX'

X' = S'X

S = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{78}} \begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\ 4 & 1 & -2 \\ -1 &1 & 7 \end{pmatrix}


S^-1 = \frac{1}{\det S} \cdot \mbox{adj} S

\det S = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{78}} \begin{vmatrix} -3 & 1 & -5 \\ 4 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 7 \end{vmatrix} = \frac{1}{78} (-21-20+2-5-28-6) = \frac{1}{78} \cdot -78 = -1

S^-1 = -1 \begin{pmatrix} 9 & -12 & 3 \\ -26 & -26 & -26 \\ 5 & 2 & -7 \end{pmatrix}

X' = \begin{pmatrix} -9 & 12 & -3 \\ 26 & 26 & 26 \\ -5 & -2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} =

[edit] Uppgift 6: G \circ F

F och G är två linjära avbildningar enl. följande:

  • F roterar rummets vektorer vinkeln \frac{\pi}{4} moturs kring x-axlen, om man tittar i negativa x-axlen riktning.
  • G roterar rummets vektorer vinkel \frac{\pi}{2} moturs kring y-axlen, om man tittar i negativa y-axlens riktning.

Bestäm matrisen för den sammansatta avbildningen G \circ F

\overline{e_1} = (1,0,0) avbildas på (1,0,0)

\overline{e_2} = (0,1,0) avbildas på (0,\frac{1}{\sqrt{2}},- \frac{1}{\sqrt{2}})

\overline{e_3} = (0,0,1) avbildas på (0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})

\overline{e_1} = (1,0,0) avbildas på (0,0,1)

\overline{e_2} = (0,1,0) avbildas på (0,1,0)

\overline{e_3} = (0,0,1) avbildas på (-1,0,0)

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & -1 \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

G \circ F = B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & -1 \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

[edit] Övnings tenta 2002-06-07

[edit] Uppgift 1: Vilka värden på a?

\begin{cases} \pi_1 : x + y + z = a \\ \pi_2 : ax + y + 2z = 3 \\ \pi_3 : 3x + ay + 3z = 1 \end{cases}

För vilka värden på a har de tre planen en och endast en gemensam punkt?

\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 2 \\ 3 & a & 3 \end{vmatrix} = 3 + a^2 + 6 - 3 - 3a - 2a = a^2 - 5a + 6

detA = 0

a2 − 5a + 6 = 0

a = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{2}^2 - 6}

a = \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2}

a1 = 2

a2 = 3

[edit] Svar:

Enligt huvudsatsen så har ekvationsystemet ett entydig lösning när a \neq 2 och a \neq 3

[edit] Uppgift 5

Kolla att \overline{u_1} : (1,0,1), \overline{u_2} : (1,1,0), \overline{u_3} : (1,1,1) är oberoende.

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 1 + 0 - 1 - 0 - 0 = 1 \neq 0

Om determinanten är \neq 0 så är vektorena linjärt oberoende.

[edit] b) bestäm koordinaterna

för \overline{v} : (2,3,1)

S = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

X' = S − 1X

X = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}

S^-1 = \frac{1}{\det S} \cdot \mbox{adj} S = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

\mbox{adj} S = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}


(om man vill kan man kontrolera att S \cdot S^-1 = I

X' = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}


[edit] Uppgift 6

Speglar rummets vektorer i planet 2x + 3y + z = 0

note Undersök vad som händer med basvektorena

\overline{n} = (2,3,1)

(1,0,0) + t(2,3,1) = (1 + 2t, 3t,t)

2(1+2t) + 3(2t) + 1(t) = 0

t = \frac{-1}{7}

Spegelpunkten Q är två t.

(1,0,0) + (\frac{-2}{7})(2,3,1) = (\frac{3}{7}, \frac{-6}{7}, \frac{-2}{7})

calcylations here

(0,1,0) + (\frac{-3}{7})(2,3,1) = (\frac{-6}{7}, \frac{-2}{7}, \frac{-3}{7})

calcylations here

(0,0,1) + (\frac{-1}{7})(2,3,1) = (\frac{-2}{7}, \frac{-3}{7}, \frac{6}{7})

B = \begin{pmatrix} \frac{3}{7} & \frac{-6}{7} & \frac{-2}{7} \\ \frac{-6}{7} & \frac{-2}{7} & \frac{-3}{7} \\ \frac{-2}{7} & \frac{-3}{7} & \frac{6}{7} \end{pmatrix}

B = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -6 & -2 & -3 \\ -2 & -3 & 6 \end{pmatrix}

Y = A X

Vill vill ha ut a så vi räkna ut X'.

X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\det X = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - 1 = -1

\mbox{adj} X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

X' = -1 \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

X' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

[edit] Övriga övnings-tentor

note: Tenta 2002-06-07 saknas online

Retrieved from "http://wiki.fukt.bsnet.se/wiki/MA1106/Exams"
Personal tools